в

В чем разница между дифференциалом и производной?

Производная и дифференциал функции

Содержание

Чтобы лучше понять разницу между дифференциалом и производной функции, вам необходимо сначала понять концепцию функции.

Функция – это одно из основных понятий в математике, которое определяет взаимосвязь между набором входов и набором возможных выходов, где каждый вход связан с одним выходом. Одна переменная является независимой, а другая – зависимой.

Концепция функции – одна из самых недооцененных тем в математике, но она необходима для определения физических отношений. Возьмем, к примеру: утверждение «y является функцией x» означает, что что-то, связанное с y, напрямую связано с x некоторой формулой. Скажем, если на входе 6, а функция должна прибавить 5 ко входу 6. Результат будет 6 + 5 = 11, что и будет вашим выходом.

В математике есть несколько исключений, или, можно сказать, проблемы, которые нельзя решить одними обычными методами геометрии и алгебры. Для решения этих задач используется новый раздел математики, известный как исчисление.

Исчисление фундаментально отличается от математики, которая не только использует идеи геометрии, арифметики и алгебры, но также занимается изменением и движением.

Исчисление как инструмент определяет производную функции как предел определенного вида. Концепция производной функции отличает исчисление от других разделов математики. Дифференциальный – это подполе исчисления, которое относится к бесконечно малой разнице в некоторой переменной величине и является одним из двух основных разделов исчисления. Другая ветвь называется интегральным исчислением.

Математические примеры использования производной и дифференциала

1. Нахождение скорости и ускорения. При изучении движения тела можно использовать производную, чтобы определить его скорость и ускорение в каждый момент времени. Например, если задано уравнение положения тела в зависимости от времени, то производная этого уравнения по времени будет представлять скорость, а вторая производная — ускорение.

2. Решение оптимизационных задач. Используя теорию производных, можно найти экстремумы функций, то есть точки минимума или максимума. Это может быть полезно, например, при нахождении оптимальных размеров упаковки или при оптимизации производственных процессов.

3. Исследование функций. Производная позволяет определить точки, в которых функция возрастает или убывает, а также точки перегиба и экстремумов. Это помогает понять поведение функции и выделить ее основные характеристики.

4. Построение графиков. Производная и дифференциал используются для построения графиков функций. Зная производную, можно определить наклон касательной к графику функции в каждой точке, что позволяет более точно визуализировать ее форму.

ПримерОписание
Производная функции f(x) = x^2Найдем производную функции f(x) = x^2. По правилу степенной функции, производной будет f'(x) = 2x.
Определение точки минимумаРассмотрим функцию f(x) = 3x^2 — 6x + 2. Найдем производную f'(x) = 6x — 6 и приравняем ее к нулю: 6x — 6 = 0. Решая это уравнение, получим x = 1. Таким образом, функция имеет точку минимума при x = 1.
Вычисление дифференциалаПусть функция y = f(x) задана как y = 2x^3 — 5x + 1. Тогда дифференциал функции можно выразить как dy = f'(x)dx = (6x^2 — 5)dx.

Это лишь некоторые примеры применения производной и дифференциала в математике. Эти инструменты играют важную роль в решении различных задач и позволяют более глубоко изучить свойства функций.

What is a Derivative?

In simplest terms, derivatives refer to the rate of change in variables when a change is recorded in the independent variable and a corresponding change is produced in the dependent variable. Hence, it highlights the change in output due to a change in the input value.

Derivatives are most commonly used with differential equations. Differentiation is the process used to find derivatives. They are used to connote the slope of a tangent line. Within a given period, derivatives measure the steepness of the slope of a function.

Like differentials, derivatives can also be classified as first- and second-order. While the former can be directly predicted from the slope of the line, the latter takes the concavity of the graph into account.

They are an important part of mathematical calculations. Often the slope is represented as:

d/dx

For instance, a derivation is defined as the rate of change of b concerning a. This relationship is expressed as b= f(a), where b is a function of a. The value of this function creates the slope of f(a).

Scientific researchers use derivatives in differential equations to gauge the changes in the value of variables to predict the behavior of changing systems succinctly.

Примеры использования производной и дифференциала

Производная функции показывает ее скорость изменения в каждой точке. Например, если у нас есть функция, описывающая полет тела под действием гравитации, производная этой функции позволяет определить моменты, когда тело достигает максимальной высоты или скорости.

Величина дифференциала представляет собой разницу между значениями функции в близких точках. Дифференциал используется, например, для приближенного нахождения значения функции в точке или для оценки изменения функции при малом приращении аргумента.

Производные и дифференциалы также обладают линейностью, что означает, что операции с ними выполняются по правилам линейной алгебры. Например, если у нас есть функция, зависящая от нескольких переменных, то дифференциал этой функции можно представить в виде суммы дифференциалов каждой переменной, взятых с весовыми коэффициентами.

В многих научных областях производные и дифференциалы играют важную роль. Например, они используются в физике, где производные позволяют описывать движение тел и изменение физических величин. Также они находят применение в экономике, где позволяют анализировать изменение спроса и предложения на товары. А в теории оптимизации производные используются для нахождения экстремумов функций.

Пример 1: Вычисление скорости движения

Пусть t — время, прошедшее с начала движения объекта, x(t) — функция, описывающая положение объекта в зависимости от времени. Тогда производная этой функции x'(t) будет представлять скорость движения.

Предположим, что x(t) = 3t^2 + 2t + 1. Чтобы найти производную данной функции, применим правило дифференцирования для степенной функции и суммы функций. Получаем:

ФункцияПроизводная
3t^26t
2t2
1

Таким образом, производная функции x(t) будет равна 6t + 2, что является скоростью движения объекта в зависимости от времени.

Производная позволяет определить скорость изменения функции в каждой ее точке. В данном примере она показывает нам, как скорость движения объекта изменяется с течением времени.

Пример 2: Определение площади под кривой

Чтобы определить площадь под кривой, получаемой построением графика функции f(t), воспользуемся методом дифференциала. Суть метода заключается в приближенном расчете площади под кривой путем разбиения области под графиком на маленькие, почти прямоугольные фигуры.

Для этого мы берем начальную точку (t0, f(t0)) и конечную точку (t, f(t)), где t0 и t — два значения времени, а f(t0) и f(t) — соответствующие значения функции. Затем мы находим приращение времени dt = t — t0 и приращение пути df = f(t) — f(t0).

Приращение площади dS, получаемое под графиком с помощью этих двух значений, равно произведению приращения времени на приращение пути:

dS = df * dt

Это приращение площади можно рассматривать как прямоугольник с шириной dt и высотой df.

Для определения площади под всей кривой необходимо учесть приращения площади для каждого прямоугольника и просуммировать их. В пределе, когда ширина прямоугольников стремится к нулю, сумма всех приращений площади превращается в определенный интеграл:

S = ∫f(t)dt

Таким образом, мы можем определить площадь под кривой посредством вычисления определенного интеграла от функции f(t).

Этот метод находит широкое применение в различных областях, например, в физике, где площадь под графиком функции может представлять собой физическую величину, такую как работа или энергия. Также он используется для моделирования и анализа различных процессов, например, связанных с гравитацией.

В математике этот метод также имеет большое значение, поскольку он позволяет численно интегрировать функции, которые не могут быть выражены через простые аналитические формулы. Более того, дифференциал и производная играют важную роль в теории функций, их свойствах и применении к изучению геометрических фигур, например, касательной и тангенсу.

Производные высших порядков

Определение. Второй производной (или производной второго порядка) функции y=f(x) называется производная от ее первой производной.

Обозначение второй производной функции y=f(x):

Механический смысл второй производной. Если функция y=f(x) описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то вторая производная f″(x) равна ускорению движущейся точки в момент времени x.

Аналогично определяется третья, четвертая производная.

Определение. n-й производной (или производной n-го порядка) функции y=f(x) называется производная от ее n-1-й производной:

y(n)=(y(n-1))′, f(n)(x)=(f(n-1)(x))′.

Обозначения: y″′, yIV, yV и т.д.

Применение в науке и технике

Понятие дифференциала имеет широкое применение в различных областях науки и техники. Оно используется для анализа и описания различных процессов и явлений, а также для построения математических моделей.

Механика

В механике дифференциалы используются для описания движения тел. Они позволяют определить скорость и ускорение объекта в каждый момент времени. При решении задач на механику дифференциалы позволяют получить более точные результаты и учесть изменения параметров системы.

Физика

В физике дифференциалы используются для описания различных законов и закономерностей. Например, в термодинамике они позволяют описать изменение температуры и давления в системе. В оптике дифференциалы используются для описания распространения света и его взаимодействия с материалами.

В области электроники дифференциалы используются для анализа и проектирования различных электрических схем. Они позволяют учесть изменение величин токов и напряжений в каждом элементе схемы и определить их влияние на работу всей системы.

Математика

В математике дифференциалы используются для определения производных функций и решения дифференциальных уравнений. Они являются основным инструментом в исследовании функций и их свойств. Дифференциалы также широко применяются в численных методах решения математических задач и моделирования.

  • Дифференциалы применяются в физике для описания законов природы и процессов, происходящих в материальных объектах.
  • В механике дифференциалы используются для анализа движения тел и определения их скорости и ускорения.
  • В электронике дифференциалы используются для анализа электрических схем и определения их характеристик.
  • В математике дифференциалы используются для решения дифференциальных уравнений и исследования функций.

Частная производная первого порядка

Запоминаем главное правило:

То есть, частная производная по сути ничем не отличается от обычной. Так что, держите перед глазами таблицу производных элементарных функций и правила вычисления обычных производных. Рассмотрим пример, чтобы стало совсем понятно. Допустим, нужно вычислить частные производные первого порядка следующей функции:

Сначала возьмем частную производную по иксу, считая игрек обычным числом:

Теперь считаем частную производную по игреку, принимая икс за константу:

Как видите, ничего сложного в этом нет, а успех с более сложными примерами – лишь дело практики.

Как найти производную и дифференциал функции

Вычисление производной

Первый способ вычислить производную функции — это просто вычислить ее предел. Если он существует, значит, у вас есть производная, иначе вы знаете, что функция не дифференцируема.

Пример:

В качестве функции возьмем f(x) = x2.

\((f(x+h)-f(x))/h = ((x+h)2 – x2)/h = (x2 + 2xh +h2 – x2)/h = 2x + h\)

Теперь нам нужно взять предел для h, чтобы увидеть 0:

f'(x) = 2x.

Вычисление производной функции может стать намного проще, если использовать некоторые свойства:

Правило суммы: (af(x)+bg(x))’ = af'(x) + bg'(x)

Правило квотирования: (f(x)/g(x))’ = (f'(x)g – f(x)g'(x))/g(x)2

Правило произведения: (f(x)g(x))’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Правило цепочки: f(g(x))’ = f'(g(x))g'(x)

Производная встречается во многих математических задачах. Примером может служить нахождение касательной к линии функции в определенной точке. Чтобы получить наклон этой линии, понадобится производная для нахождения наклона функции в этой точке.

Другое применение — поиск экстремальных значений функции, то есть (локального) минимума или максимума функции. Поскольку в минимуме функция находится в точке минимума, наклон переходит от отрицательного значения к положительному. Поэтому производная равна нулю в минимуме и наоборот: она также равна нулю в максимуме.

Многие физические явления описываются дифференциальными уравнениями. В этих уравнениях есть производные, а иногда и производные более высокого порядка (производные производных). Решение этих уравнений позволяет многое узнать, например, о динамике жидкостей и газов.

Знание следующих правил облегчит расчет производных.

Многочлены

Многочлен — это функция вида a1 xn + a2xn-1 + a3 xn-2 + … + anx + an+1.

Таким образом, многочлен — это сумма нескольких членов вида axc. Поэтому по правилу суммы, если мы теперь имеем производную каждого члена, мы можем просто сложить их, чтобы получить производную многочлена. Этот случай известен, и мы его получили: d/dx xc = cxc-1

Тогда производная многочлена будет: na1 xn-1 + (n-1)a2xn-2 + (n-2)a3 xn-3 + … + an

Экспоненты и логарифмы

Экспоненциальная функция ex обладает тем свойством, что ее производная равна самой функции. Поэтому: d/dx ex = ex

Найти производную других степеней e можно с помощью цепного правила. Например, \(e2x^2\) — это функция вида f(g(x)), где f(x) = ex и g(x) = 2×2. Тогда производная по правилу цепочки становится равной 4x \(e2x^2\).

Если основанием экспоненциальной функции является не e, а другое число a, то производная будет другой.

d/dx ax = ax ln(a), где ln(a) — натуральный логарифм от a.

Производная логарифма 1/x в случае натурального логарифма и 1/(x ln(a)) в случае логарифма с основанием a.

Отрицательные и дробные числа

d/dx xc = cxc-1 выполняется и в том случае, если c — отрицательное число, поэтому, например:

1/x = x-1

d/dx 1/x = -1/x2

Более того, она справедлива и при дробном c. Это позволяет нам вычислять производную, например, квадратного корня:

\(d/dx sqrt(x) = d/dx x1/2 = 1/2 x-1/2 = 1/2sqrt(x)\)

Гониометрические функции

Синус, косинус и тангенс также имеют производную.

d/dx sin(x) = cos(x)

d/dx cos(x) = – sin(x)

d/dx tan(x) = 1 – tan2(x)

d/dx arcsin(x) = 1/sqrt(1-x2)

d/dx arccos(x) = -1/sqrt(1-x2)

d/dx arctan(x) = 1/(1+x2)

Вычисление дифференциала

Предположим, что существует функция f(x) = x2. Наклон этой функции в определенной точке, скажем, 3, можно определить с помощью дифференциального исчисления. Производная этой функции будет f'(x) = 2x. Подставив в это уравнение x = 3, получим f'(x) = 6. Таким образом, наклон касательной линии при x = 3 равен 6.

Различные формулы дифференциального исчисления используются для нахождения производных различных типов функций. Согласно определению, производная функции может быть определена следующим образом:

\(f'(x) = limh→0 f(x+h)-f(x) / h\)
Ниже приведены важные формулы дифференциального исчисления для различных функций:

Элементарные:

d/dx ex = ex
d/dx ax = ax. ln .a , где a > 0, a ≠ 1
d/dx ln x = 1/x, x > 0
d/dx √x = 1/(2 √x)

Гиперболические:

d/dx sinhx = coshx
d/dx coshx = sin hx

d/dx tan hx = sec h2x
d/dx cot hx = -cosec h2x

d/dx sec hx = -sech hx tan hx
d/dx cosec hx = -cosec hx cot hx

Тригонометрические:

d/dx sin x = cos x
d/dx cos x = -sin x
d/dx tan x = sec2 x , x ≠ (2n + 1) π / 2 , n ∈ I
d/dx cot x = – cosec2 x, x ≠ nπ, n ∈ I
d/dx sec x = sec x tan x, x ≠ (2n + 1) π / 2 , n ∈ I
d/dx cosec x = – cosec x cot x, x ≠ nπ, n ∈ I

Производная и дифференциал

Центральные понятия дифференциального исчисления — производная и дифференциал возникли при рассмотрении множества задач естествознания и математики, каждая из которых приводила к вычислению пределов одного типа.

Производная функции

имеет конечный предел при стремлении приращения независимой переменной к 0, то такой предел называется производной функции f(х) при заданном х.

Производная функции — одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место.

Дифференцирование

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Обратная операция — восстановление функции по известной производной —интегрированием.

Для нахождения производной функции f(x) в точке x0 на основе определения следует выполнить следующие действия:

  1. Записать отношение \
  2. Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на $\Delta x$;
  3. Найти производную f'(x0), вычисляя предел полученного выражения. Если данный предел существует, то говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.

Производная сложной функции равна произведению производной по промежуточной переменной по независимой переменной:

Найти производную функции

Введем новую переменную u = x/$\Delta $х которая стремится к бесконечности и найдем предел новой функции

Различия функции и производной

Правила сложения и вычитания f(x) одинаковы с правилами этих действий при дифференцировании. Но правила нахождения f’(x) при действиях умножения и деления функций другие (как в таблице).

Функция первична, а производная – произведенная вторичная математическая операция, у них в большинстве случаев разные характеристики.

Точку перегиба непрерывной зависимости находят по её второй производной, должен меняться её знак в районе точки х0.

Есть такие типы функций не имеющих f’(x) в точке x0 (разрывные). В выражении ln(|x|-1) не определена в точке x0=1 производная.

Есть выражения «по модулю» аналогичные y=|x|, которые имеет излом в х0.

Для подобных зависимостей применяются лишь частично (на промежутках области определения) способы исследования их свойств с помощью производных и не всегда возможен переход от свойств f’(x) к свойствам первичной.

Нигде не обойтись без исключений из правил, и даже в математике. С целью разбора и закрепления изложенного материала обязательно следует порешать примеры, напрактиковаться, набраться опыта с пределами, дифференциалами и производными и смело переходить к интегралам.

[Математика] Определение дифференциала, разница между дифференциалом и производной

http-equiv=”Content-Type” content=”text/html;charset=UTF-8″>style=”clear:both;”>

В этой статье мы подробно определим дифференциал и объединим понятие производной, чтобы подробно объяснить разницу между ними.

Как показано на рисунке выше, для функции y = f (x) в любой точке p (x, y), если есть приращение в направлении x, То есть приращение по оси y, когдаКогда производная определяется как

Можно видеть, что производная связана с соотношением между ними, когда изменяется x и изменяется y. Дифференциал определяется как незначительное изменение x, Небольшое изменение направления y, Из формулы производной находим

, Вы можете иметьТогда да,

И наконец:(Формула 1)

среди нихзаБесконечно малое число высокого порядка, то есть когдавПри приближении к 0, тоБыстрее сходятся к 0, поэтому скорость изменения в направлении yВести себя как иЛинейная связь. Ты можешь видетьНаходится ли f (x) вПроизводная при является независимымКогда фиксированное значение (уравнение 1) удовлетворяется, мы называем y = f (x) вГде дифференцируемо, а dy =Называется y = f (x) вДифференциал на месте.

А скорость изменения в направлении x dx =затемЭто основная дифференциальная формула. По сравнению с уравнением 1 мы разные, То есть дифференциал является приближением. ПосмотримПроизводная этой функции:

Среди них мы видим, что 2x – производная, аТолькоБесконечно малое число высокого порядка.

Есть пределы, дифференцируемые, и дифференцируемые слева и справа устанавливаются взаимно, поэтому

Это знаменитая дифференциальная формула.

Интеллектуальная рекомендация

Основная элементарная функция Элементарная функцияПоОсновная элементарная функцияФункция получается после конечного числа из четырех операций и составных операций.Основная элементарная функцияИ элемен…

Ссылочный блогhttps://blog.csdn.net/baishuo8/article/details/81408369И знатьhttps://www.zhihu.com/question/36301367 I. Производная производныйНаш самый ранний контактУнарная функцияЭто можно легко наб…

1. Пограничные разницы: Дерево, пусть права границы на пути x-> y добавьте w: d += w, d += w, d -= 2*w; Наконец, найдите f : я использую I как детское дерево, D of of of of. То…

Одна измеренная разница Дифференциальная концепция Для ряда столбцов a_ {i} данные, которые мы должны сохранить, – это «разница между двумя соседними числами». Эта стратегия, порядок p i =…

Из -за приготовления дерева он узнал разницу между деревом. Разница точек: вся точка мощности +1 на пути u-v, затем C ++, C ++, C -, C ]-, может быть многократно много раз после …

Вам также может понравиться

В предыдущем разделе мы изучили «Ортогональную матрицу и матричную QR-декомпозицию», на этот раз мы продолжаем содержание предыдущего раздела, чтобы узнать «производную от вектора&ra…

1. Производная 1.1 Обычно используемые взаимные 1.2 Вывод составных функций 1.2.1 Цепное правило 1.2.2 Производные многомерных функций: частные производные (частный дифференциал) 2. Очки Определенный …

Сегодняшнее главное преимущество состоит в том, что я прекращаю готовить каждый раз, когда получаю вывод функции, но все равно часто использую ее. Что ж, сегодня я наконец-то добился своего главного п…

команда diff ПозвонивdiffКоманда для вычисления символьной производной: Чтобы получить производную более высокого порядка, используйте: Давайте посмотрим на пример и найдем его вторую производную: Мы …

= Представляет назначение == это означает, что он не сравнивает тип данных, только значение var a=’0′; a==0;//true === Хенг и др., Значение левой и правой стороны и тип данных равны ! = Типы данных с …

Первый дифференциал функции

Определение первого дифференциала функции

Дифференциал функции в точке
Пусть функция дифференцируема в некоторой точке . Тогда ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от приращения ее аргумента и по сравнению с .Дифференциалом функции в точке называется главная линейная часть приращения функции, соответствующая приращению независимой переменной . То есть это приращение функции, в котором опущены слагаемые, содержащие бесконечно малые величины по сравнению с приращением аргумента . Дифференциал обозначается как или , и является функцией двух переменных: и . Он также называется дифференциалом первого порядка или первым дифференциалом.
Дифференциал независимой переменной
– это приращение аргумента функции:. Он является независимой переменной.

С учетом определений, дифференциал функции имеет следующий вид.(1.1)   . Его также можно записать в одной из следующих форм.;;.

Поскольку дифференциал функции зависит от двух переменных, то его следовало бы писать так: . Однако, переменную , как правило опускают, и пишут сокращенно . При этом всегда подразумевают ее присутствие. То есть сначала мы вводим новую независимую переменную , являющуюся приращением аргумента функции, а затем, используя две независимые переменные и , определяем дифференциал.

В чем смысл первого дифференциала

Зачем вводят дифференциалы? Не проще ли использовать вместо них приращения независимой переменной и функции? – Дифференциалы вводят для сокращения записей расчетов, в которых используются стремящиеся к нулю приращения. На завершающем этапе таких расчетов выполняют предельный переход, в результате которого все о – малые функции от приращений стремятся к нулю. Поэтому применяют систему записи, в которой эти о – малые исключены с самого начала.

В строгом варианте, нужно выписать точные выражения для приращений, типа. По завершении алгебраических операций, выполнить предельный переход при ,   . Вместо этого с самого начала оставляют только главные части приращений, которые называются дифференциалами:. В результате получают выражения, линейные по дифференциалам, справедливые для приращений, когда они стремятся к нулю.

Можно сказать и так.Дифференциалы – это приращения, в которых отброшены все функции, о – малые от приращений независимых переменных.Первые дифференциалы – это выражения, в которых оставлены только линейные части приращений. Также говорят, чтоДифференциалы – это бесконечно малые приращения.

Геометрический смысл дифференциала

Если существует конечная производная функции в точке , то дифференциал функции в точке – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке , соответствующее приращению аргумента . Дифференциал независимой переменной – это приращение аргумента функции: .
Дифференциал функции в точке x – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику в этой точке. Доказательство

На странице «Геометрический смысл производной» мы выяснили, что уравнение касательной к графику функции имеет вид:(1.2)   , где .

В точке с абсциссой , ордината касательной равна . Рассмотрим точку , в которой приращение абсциссы равно . Из уравнения находим ординату касательной в этой точке:. Приращение ординаты касательной. Как видно, оно совпадает с дифференциалом функции в точке .

Свойства первого дифференциала

Арифметические свойства дифференциалов

Теорема Пусть функции и дифференцируемы в точке ; – постоянная. Тогда в этой точке(1.3)     (дифференциал суммы функций);(1.4)     (дифференциал произведения);(1.5)   ,   при   (дифференциал частного). Постоянный множитель можно выносить из-под знака дифференциала:(1.6)   .

Доказательство следует из определения дифференциала и .;;;.

Инвариантность формы первого дифференциала

Теорема Пусть функцию можно представить как сложную: . При этом функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда дифференциал первого порядка функции, выраженный через переменную имеет ту же форму, что и дифференциал, выраженный через переменную . Эту же формулу можно записать так:.
Доказательство

По , в точке существует производная по . Применим эту теорему и подставим ..

Здесь мы выполнили доказательство, использую характеристики функций . Проделаем тоже самое, использую переменные ..

Можно проделать вывод и просто сделав подстановку .. В известном смысле с первыми производными можно обращаться как с дробями, составленными из дифференциалов.

Примечание. В формуле ,   является дифференциалом независимой переменной, то есть приращением переменной . В формуле ,   уже дифференциал зависимой переменной. Он может отличаться от приращения на о – малое по сравнению с при .;.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

банные принадлежности

Отличие бани от сауны