Отличия и сходства между позиционными и непозиционными системами счисления

Введение

Потребность в счете возникла у людей с давних времен. Ученые археологи нашли много записей времен пещерного человека, с помощью которых они обозначали количество убитых животных, добытых шкур и собранного урожая. Так в 1937 году в Моравии была найдена кость с 55 зарубками. По мнению ученых они обозначали количество бизонов добытых вождем племени.

С развитием технологий, счет находил применение во всех областях социальной жизни человечества – астрономии, налогообложении и промышленности. Сейчас вычисления активно используются в информатике для представления информации в электронно-вычислительных машинах. В этой статье вы узнаете, что такое система исчисления, изучите основные определения, которые помогут вам лучше разобраться в теме, выясните, что такое позиционные и непозиционные системы исчисления и чем они отличаются.

Шестнадцатеричная система

Шестнадцатеричную систему счисления используют в современных компьютерах достаточно часто. Пример – с ее помощью можно задать цвет.

Она имеет основание 16. Для выражения чисел система использует числа 0-9, а также буквы A-F. Буквенные записи соответственно будут равны 10, 11, 12, 13, 14 и 15.

Чтобы лучше понимать принцип «работы» этой системы, стоит рассмотреть наглядный пример – 4F15₁₆. Чтобы перевести его в 8-ю, нужно:

Преобразовать число в двоичное.
Разбить на группы по 3 разряда (элемента).

Для перевода в 2-е число каждая цифра представлена в виде 4- разрядного числа:

100
1111
101.

В первой и последней группах не хватает разряда. Они дополняются нулями: 0100 1111 0101. Это значение разделяется на группы по 3 компонента справа-налево. Получается 010 011 110 101.

Для того, чтобы увидеть результат, нужно перевести каждую двоичную группу в восьмеричную систему. Разряды умножаются на 2n, где n – это номер того или иного разряда. На выходе получится 2368₈.

Восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления активно изучают в школах на уроке информатики. Они не слишком нужны среднестатистическим пользователям, но пригодятся тем, кто планирует углубляться в программирование.

Древние непозиционные системы счисления

Исторической науке известны древние системы счисления, использующие различные знаки, символы и рисунки для обозначения числовых значений. Самыми известными являются:

Древнеегипетская система счисления
Вавилонская система счисления
Система счисления майя

Древнеегипетская система счисления

В древнеегипетской системе счисления специальные символы заменяли числа 1, 10, 100, 1000, 1000, и так далее, кратные десяти.

Рис. 2. Символы древнеегипетской системы счисления и их десятичные эквиваленты.

Числа записывались в виде комбинации таких символов, повторяющихся в зависимости от значения конкретного разряда не более девяти раз. Например, в числе 45 символ для обозначения 10 записывается четыре раза, а символ единицы, повторяется пять раз.

Вавилонская система счисления

Вавилонская система представления чисел использует для обозначения чисел знаки в виде вертикальных и горизонтальных насечек – клиньев. Такую систему написания знаков называют клинописью.

Единицы в древнем Вавилоне обозначали прямыми клиньями, десятки – лежащими, то есть горизонтальными. Прямым клином обозначается также число шестьдесят.

Вавилонскую систему записи числовых значений называют также шестидесятеричной. Принцип разделения числового пространства на группы по 60 единиц используется и в настоящее время для определения временных отрезков. Один час состоит из 60 минут, одна минута – из 60 секунд.

Вавилонская система представляет собой комбинированный вариант системы счисления, так как представление чисел от 1 до 60 подчинено непозиционному принципу, а числа свыше шестидесяти представляются с использованием позиционного подхода.

Например, число 34 в вавилонской системе записывается как последовательность из трех горизонтальных клиньев, за которыми следует четыре прямых клина. А число 84 будет начинаться с прямого клина, обозначающего 60, за которым следуют два лежащих клина и затем четыре прямых.

Система счисления майя

Для обозначения чисел в различных бытовых ситуациях Майя использовали непозиционную систему представления чисел, в которой записывались числа от 0 до 19 с помощью знаков, представляющих собой комбинации точек и горизонтально расположенных отрезков.

Рис. 3. Цифры народа цивилизации майя.

Например, цифра для обозначения числа 17 выглядит как две точки, расположенные над тремя горизонтальными черточками.

Что мы узнали?

Для представления чисел используются позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах расположение знаков, составляющих числа не влияет на их числовые значения. Самой известной непозиционной системой является система римских цифр. Известные исторической науке системы записи чисел древних народов Египта, Вавилона, цивилизации Майя применяли непозиционный принцип представления чисел, используя различные знаки для обозначения числовых эквивалентов.

/10
Вопрос 1 из 10
Для непозиционной системы счисления справедливо утверждение:
- Основание системы счисления равно двум
- Изменение положения символа в числе не влияет на его числовое значение
- Если цифру в числе переместить из одного разряда в другой, ее количественное значение измениться
- Выполнять умножение и сложение чисел в системе счисления можно поразрядно, записывая их столбиком, друг под другом.

Что такое непозиционная система

Непозиционная система — это такая система счисления, в которой положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от ее места в коде числа.

Еще до нашей эры разные народы независимо друг от друга отказывались от унарной системы счисления, в которой количество предметов обозначали таким же количеством одинаковых значков, и переходили к более удобным системам. Например, у египтян система счисления была десятичной, но запись числа составлялась только из иероглифов 1, 10, 100, 1000. Их нужно было складывать, поэтому не имело значения, в каком порядке они записаны.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений

Компьютерам очень удобно оперировать двоичными числами, но люди не привыкли работать с большим количеством цифр. Например, чтобы представить в двоичном виде число 1234 потребуется больше 10 двоичных цифр (10011010010). Поэтому были придуманы восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений. Они удобны как и десятичные числа тем, что для представления числа требуется меньшее количество разрядов. А по сравнению с десятичными числами, перевод в двоичное представление очень простой. Это как будто мы двоичное число разбили на группы по три или четыре разряда и каждой двоичной комбинации придумали значок. Вот таблица для восьмеричных цифр:

Двоичная комбинация	Значок
000
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

А вот таблица для шестнадцатеричных цифр:

Двоичная комбинация	Значок
0000
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Перевод произвести очень просто, посмотрим на примере числа 010011010010.

Разбиваем его на группы по три цифры: 010 011 010 010. И по таблице переводим: 23228{\displaystyle 2322_{8}}.

Чтобы перевести число в шестнадцатеричное представление разбиваем двоичное число на группы по четыре цифры: 0100 1101 0010. И по таблице переводим: 4D216{\displaystyle 4D2_{16}}. С помощью калькулятора Windows мы можем убедиться, что всё проделано верно.

В программистских кругах шестнадцатеричные числа принято предварять значком 0x (например, 0x4D2), такое написание пошло от языка программирования C, либо значком $ (например, $4D2), такая нотация произошла от языка программирования Pascal. Иногда в литературе используют буквы «h» (от англ. hexadecimal) и «b» (от англ. binary) для обозначения соответственно шестнадцатеричных и двоичных чисел (например, FFh или 1011b).

Примеры использования и значимость

Исторические примеры позиционных и непозиционных систем

Изучение исторических примеров позиционных систем например, Архимедова или Вавилонская, показывает, как при их помощи древние цивилизации достигали значительного прогресса в астрономии и математике. С другой стороны, римские цифры, представляющие собой классический пример непозиционной системы, до сих пор используются для некоторых традиционных целей, таких как часы.

Влияние на современную науку и технологии

Понимание и применение позиционных систем сыграли решающую роль в развитии таких областей, как компьютерная инженерия и цифровая связь. Непозиционные системы оказали влияние в области криптографии, где они используются для создания разнообразных шифров и кодов.

Достоинства позиционной системы

Простое выполнение подсчета

У всех позиционных систем одни и те же алгоритмы выполнения арифметических действий. Также в позиционных системах удобно работать с дробями и отрицательными числами, которые зачастую просто невозможно представить в непозиционных системах.

Главные свойства позиционных систем:

основание всегда записывается внутри системы как 10 (утверждение неприменимо к унарной системе счисления);
числа можно сравнивать поразрядно, дополнив ведущими нулями до равной длины;
сложение и вычитание можно выполнять, зная только таблицу сложения однозначных чисел.

Малое количество символов в записи

Позиционные системы используют только десять арабских цифр. Системы с основанием больше десяти добавляют к цифрам 26 латинских букв. В некоторых системах используют круглые и квадратные скобки.

Чем больше основание системы счисления, тем меньшее количество цифр понадобится для записи числа. Числа, состоящие из трех разрядов в десятичной системе, могут иметь всего два разряда в шестнадцатеричной.

Основные отличия между позиционными и непозиционными системами счисления

Характеристика	Позиционная система счисления	Непозиционная система счисления
Определение значения цифры	Зависит от позиции цифры в числе	Не зависит от позиции цифры в числе
Примеры	Десятичная (основание 10), двоичная (основание 2), восьмеричная (основание 8), шестнадцатеричная (основание 16) и т.д.	Римская система счисления (I, V, X, L, C, D, M) и др.
Использование	Используется в информатике, программировании, электронике, математике и др.	Менее распространена; используется, например, в исторических документах и некоторых областях гуманитарных наук

Значение позиций и счёт

Самое фундаментальное отличие между позиционными и непозиционными системами – это роль места, которое занимает каждый символ. В позиционных системах каждая цифра имеет различное значение в зависимости от её местоположения, в то время как в непозиционных системах значение каждого символа остаётся неизменным.

Сложность действий

Выполнение арифметических операций в позиционных системах, благодаря стандартизированным алгоритмам, значительно проще и быстрее. В непозиционных системах, где каждый символ представляет одно и то же значение, необходимо придумывать уникальные методы для обозначения и изменения числового значения, что может быть более сложным и менее эффективным процессом.

Виды

Существуют различные виды систем счисления:

Непозиционные. В них значение не зависит от ее позиции.
Позиционные. «Итог» зависит от того, где именно стоит тот или иной компонент.
Однородные.
Неоднородные.

Каждый вариант предусматривает свои ключевые особенности.

Позиционный тип

Здесь значение каждой цифры будет зависеть от ее разряда в числе. Пример – для человека привычна 10-я. Она является позиционной. 453 рассмотрено в виде примера. Тут 4 – это сотни, что указывает на 400, 5 – десятки (50), 3 – единицы (3). Чем больше разряд, тем выше окажется значение.

Непозиционный тип

Самый древний вариант. Каждый компонент – это отдельная величина. Она никак не зависит от разряда. В программировании не используется, поэтому рассматривать его более подробно не рекомендуется.

Однородный тип

Однородный вариант – это тот, в котором для всех позиций числа набор допустимых символов будет одинаковым. Пример – десятичная система. Для записи элемента можно использовать в каждом разряде только одну цифру. А именно – от 0 до 9. Запись 450 допускается (1-й разряд – 0, 2 – 5, 3-й – 4), а вот 4F5 – нет.

Смешанный тип

В нем в каждом разряде допускается разный набор других позиций. Пример – это измерение времени:

в секундах – 60 символов;
в часах – 24;
в сутках – 365.

Теперь можно рассмотреть, какие системы встречаются в информатике чаще всего.

Таблица соответствия чисел систем счисления

система» data-order=»Двоичный система» стиль = «минимальная ширина: 24,6711%»; ширина:24,6711%;»>Двоичный система	система» data-order=»восьмеричный система» стиль = «минимальная ширина: 24,1776%»; ширина:24,1776%;»>восьмеричная система	система» data-order=»Десятичный система» стиль = «минимальная ширина: 22,2039%; ширина:22,2039%;»>Десятичный система	система» data-order=»Шестнадцатеричный система» стиль = «минимальная ширина: 28,9474%»; ширина:28,9474%;»>Шестнадцатеричный система
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	1
11	1011	1. 3	Б
12	1100	14	С
1. 3	1101	15	Д
14	1110	16	Е
15	1111	17	Ф
16	10 000	20	10
17	10001	21	11
18	10010	22	12
19	10011	23	1. 3
20	10100	24	14
21	10101	25	15
22	10110	26	16
23	10111	27	17
24	11000	30	18
25	11001	31	19
26	11010	32	1А
27	11011	33	1Б
28	11100	34	1С
29	11101	35	1D
30	11110	36	1Э
31	11111	37	1эт
32	100 000	40	20

Перевод десятичного числа в римское

Для примера покажем, как перевести число 1998 в римскую систему счисления. Для этого делаем так:

Берём самое большое римское число и смотрим, наше число больше или нет.
Если наше больше — вычитаем из нашего римское и записываем его.
Если не больше — переходим к следующему римскому.
Так делаем до тех пор, пока у нас в остатке не получится ноль.

Итак, делаем всё по шагам:

1998 и 1000 (M) — самое большое римское число. Наше больше, поэтому отнимаем и добавляем новую букву: M. Остаток — 998
Снова проверяем с самым большим числом — 1000 (M). Наше число меньше, поэтому берём следующее: CM (900). Это уже подходит, поэтому вычитаем его из 998: 998 − 900 = 98. Запоминаем остаток и добавляем CM к нашему числу: MCM
Берём остаток — 98 — и проверяем снова все римские числа сверху вниз. Первое римское число, которое меньше нашего, — это XC (90). Отнимаем, получаем остаток 8 и добавляем XC к нашему числу: MCMXC
Берём остаток — 8 — и смотрим, какое минимальное римское число меньше него, это V (5). Отнимаем пятёрку, получаем 3 и добавляем V к римскому числу: VCVXCV.
Из числа 3 последовательно отнимаем три единицы I (1), и дописываем их к римскому числу: MCMXCVIII.
У нас в остатке 0, а значит, мы закончили с переводом. 1998 = MCMXCVIII.

Римская система счисления

Описание

Римская система счисления относится к непозиционным. Она известна всему миру и широко применяется до сих пор. Это связано не с какими-то особыми достоинствами, а скорее с политическим и культурным влиянием Древнего Рима на европейскую цивилизацию.
Сейчас римская система используется в русском языке для обозначения:

веков;
месяцев (при этом день и год пишут арабскими цифрами);
валентности химических элементов;
порядковых номеров монархов;
номеров корпусов Вооруженных сил;
групп крови;
номеров томов многотомных книг, иногда номеров глав или параграфов;
важных событий (XX съезд КПСС, II Мировая война, ХХ Олимпиада).

В других странах свои особенности употребления римских цифр: в Европе ими часто записывают номер года, в Латвии — день недели.
Считается, что в основу римских цифр легли жесты:

I — единица, один палец;
V — пять, ладонь;
Х — десять, две скрещенные ладони.

100 и 1000 обозначаются буквами C и М — первыми буквами соответствующих латинских слов.

Основные характеристики

Для записи чисел используют семь букв латинского алфавита:

I — 1;
V — 5;
X — 10;
L — 50;
C — 100;
D — 500;
M — 1000.

Сначала записываются тысячи, потом сотни, потом десятки и единицы. Ноль в системе отсутствует, но раньше вместо него использовали букву N. От позиционных систем римская отличается использованием принципов сложения и вычитания. Когда большая цифра стоит перед меньшей, они складываются. Когда меньшая стоит перед большей — вычитаются.

Классификация позиционных систем

Двоичные

Определение

Двоичная система — система счисления, в которой в качестве базовых чисел выбираются степени числа два.

Чтобы не путать их с числами, записанными в десятичной системе счисления, справа внизу указывают основание системы счисления. Обычно число при этом заключают в скобки.

Двоичную систему использовали задолго до возникновения информационных технологий. Во втором тысячелетии до нашей эры народы Южной Америки кодировали двоичной системой свои записи, в том числе и не числовые. Узелок и ровный участок нити чередовались друг с другом.

В современной двоичной системе, на основе которой был создан телеграф, а позже — реле и переключатели, единица обозначает наличие сигнала, ноль — его отсутствие. Цифровые электронные схемы работают по тому же принципу. Также на нем основаны сигнальные системы, использующиеся до сих пор, например, азбука Морзе.

Восьмеричные

Когда-то два индейских племени решили, что им удобно при счете смотреть на восемь промежутков между пальцами, а не на сами пальцы. Восьмеричная система счисления отразилась в их языках, в которых только восемь слов, обозначающих цифры.
В двадцатом веке, когда для написания программ требовалось зашифровывать все больше информации в двоичной системе и упростить вычисления для людей, придумали альтернативную систему, которая позволила сократить количество цифр в коде. Число восемь — это два в кубе, поэтому перевести записи из двоичной системы в восьмеричную и обратно проще, чем в десятичную.

Десятичные

Элементы числовой базы, или ключевые числа, в десятичной системе счисления представляют собой степени десяти: 10 = 10^1, 100 = 10^2, 1000 = 10^3.
В системе всего десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число 10 — основание системы счисления. Цифры от 0 до 9 представляют собой коэффициенты разложения числа по степеням десяти.

Родиной десятичной системы счисления считается Индия, хотя еще в вавилонской цивилизации с ее шестидесятеричной системой использовались закодированные десятичные цифры, а инки в своей узелковой письменности кодировали информацию десятью цветами. Но именно в Индии начали строго соблюдать порядок разрядов числа при записи и ставить ноль, чтобы избежать путаницы. Примерно в середине VIII века эту систему стали использовать другие страны. В Европе она распространилась к XVI веку и была названа «арабской».

Шестнадцатеричные

Шестнадцатеричные системы, как и восьмеричные, появились для упрощения взаимодействия с компьютером. Кроме арабских цифр, в них используются еще и латинские буквы от А до F. В разных языках программирования для записи чисел в шестнадцатеричной системе разные правила, называемые синтаксисом.

Пятеричная

Система, связанная с количеством пальцев на одной руке, использовалась в Китае и у некоторых племен Африки. В китайском языке у иероглифов, обозначающих цифры от шести до девяти, был один и тот же знак в начале — сокращенное обозначение цифры пять. Для записи чисел в этой системе используются цифры 0, 1, 2, 3, 4.

Двенадцатеричная

Если большим пальцем руки сосчитать число фаланг на других пальцах этой руки, получится двенадцать. Группы по двенадцать предметов называли во многих европейских языках словами, схожими с русским словом «дюжина»: duodezim на латыни, douzaine на французском, dozzina на итальянском, dozen на английском. Римляне пользовались двенадцатеричными дробями, \frac1{12} они называли унцией.

В Европе счет дюжинами долгое время, вплоть до XVIII века, сохранялся наравне с десятеричной системой. Дюжина дюжин составляла гросс (от немецкого слова «большой»), дюжина гроссов — массу. Признаки влияния числа 12 заметны в англо-американской системе линейных мер, в которой 1 фут равен 12 дюймам, 1 дюйм — 12 линиям, 1 линия — 6 точкам.

Шестидесятеричная

Первой позиционной системой счисления считается шестидесятеричная система в Древнем Вавилоне. Ее основание до сих пор применяют для измерения времени. Система счисления времени — смешанная, но для перевода минут в секунды или часы потребуется именно шестидесятеричная система.

Для измерения углов и записи координат (широты, долготы) тоже используют эту систему, так как изначально астрономические координаты записывали в шестидесятеричных дробях. По аналогии с часом градус делят на шестьдесят минут, минуту — на шестьдесят секунд.

Двадцатеричная

Двадцатеричную систему называют вигезимальной. Эта система, как и десятеричная, связана с количеством пальцев, поэтому многие народы изобрели ее независимо друг от друга. Основание 20 сохранилось в лингвистической структуре их языков, именно на нем основана система счета в разговорной речи. Например, во французском языке «восемьдесят» состоит из слов «четыре» и «двадцать».

Что представляет собой позиционная система счисления?

Рассматриваемая система счисления характеризуется тем, что цифры в ней в зависимости от своей позиции относительно начала числа (при его прочтении слева направо) будут иметь разную силу. Чем правее расположена цифра — тем она слабее. Например, в числе 143 самая сильная цифра — 1, поскольку обозначает сотню, далее по силе — 4, поскольку она обозначает десяток, третья по силе цифра — 3, так как она соответствует единичному числу.

Систем счисления, считающихся позиционными, в мире используется довольно много. В числе самых распространенных — двоичная (применяется в программировании), десятичная (более всего распространена в повседневной жизни), восьмеричная и шестнадцатеричная (в основном они применяются в инженерном деле).

Что представляет собой непозиционная система счисления?

Соответствующая система счисления характеризуется тем, что цифры в ней не всегда делятся по силе в зависимости от позиции относительно начала числа. Разность в их силе, в принципе, возможна, но не всегда является правилом.

Например, римское число XX (двадцать) состоит из двух одинаковых по силе цифр X, каждая из которых обозначает десять. В свою очередь, в числе XV (пятнадцать) первая цифра сильнее, поскольку соответствует десятичному основанию, а вторая — единичному числу пять.

Кроме того, в непозиционной системе счисления, в которой используются римские цифры, число, расположенное левее, может быть более слабым. Например, римская цифра IV, то есть 4, состоит из более слабой, расположенной левее I(единицы) и более сильной, расположенной правее V (пять). Цифра 4 образуется, таким образом, посредством вычитания более слабой цифры из более сильной.

Двоичная

Двоичную систему счисления в основном используют устройства и компьютеры. Такое решение пришло из-за того, что 10-я требовала раньше огромных затрат. Это сказывалось на стоимости ЭВМ.

Пришлось создавать «урезанную» версию. Основание здесь – 2. Для записи используются символы:

Каждый разряд имеет только одно соответствующее значение. Пример 101. Это – десятичное 5. Для того, чтобы осуществить перевод из двоичной в 10-ю, требуется умножить цифру 2-го числа на 2. Возвести «двойку» в степень, равную разряду. Так 101₂ будет:

1*22;
0*21;
1*2.

Получится: 4+0+1=5₁₀.

Для работы с кодами ЭВМ хранит для каждой отдельной цифры триггер. Это – электронная схема, принимающая два состояния. Одно – соответствует «нулю», другое – «единице».

Для того, чтобы запомнить отдельное число, применяется регистр – группа триггеров, количество которых соответствует количество разрядов в двоичном числе. А их совокупность – это оперативная память. Число, которое содержится в регистре, носит название машинного слова. Для получения доступа их нумеруют. Номер – адрес ячейки.

Определение

Система счисления – это специальная система записи для выражения чисел. Математическое представление чисел заданного набора с использованием цифр и иных символов согласованным образом.

Совокупность правил записи чисел через символьно-цифирные конечные наборы. Одна и та же последовательность может быть представлена разными числами в различных системах «записи». Пример – 11 в десятичной системе, три – в двоичной, два – в унарной.

Значения и их особенности

Значение – это число, которое представляет та или иная цифра. Не все рассматриваемые компоненты могут работать со всеми числами, используемыми сегодня. Примеры – римские «значения». У них нет нуля.

Рассматриваемым компонент:

представляет полезный набор чисел (примеры – целые, рациональные);
дает уникальное представление каждому имеющемуся элементу;
отражает алгебраические или арифметические структуры.

Без систем невозможна работа с компьютерами. Именно поэтому соответствующее направление требует отдельного внимания.

Заключение

На этом всё, теперь вы знакомы с таки понятием как система исчисления в информатике. Знаете, какие они бывают (позиционные и непозиционные), на какие группы делятся, ознакомлены с основными положениями и знаете что такое основание. После освоения этого материала можете смело приступать к другим темам – таким как перевод из одной системы в другую и выполнение арифметических операций. А также, в этом разделе, вы найдете несколько интересных статей. Например, про то, как представляется память в персональном компьютере или историю непозиционных чисел.